[Frequency] Haar wavelet transformation

Haar Wavelet이란?

• 최초의 웨이블릿(1910년)
• 매우 단순한 형태의 계단 함수(step function)
• 한 구간에서 +1, 그 다음 구간에서 -1

수식적 정의:

• 기본 Haar 함수 (mother wavelet)

• 여기서 (1, 0)은
  • a = 1 → 스케일(크기)
  • b = 0 → 위치(시간 이동)

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(a, b) 파라미터 의미

 

a (scale)	얼마나 wavelet을 압축/확대할지	작을수록 더 좁고 세밀해짐
b (shift)	wavelet을 시간축에서 얼마나 이동시킬지	오른쪽으로 움직일수록 더 뒤에 위치함

 

reference. https://www.youtube.com/watch?v=y7KLbd7n75g

• : 전체 구간에 대한 큰 구조

• 왼쪽 절반 구간의 구조

• 오른쪽 절반 구간의 구조

 

→ 그림에서 세 파형이 바로 이걸 시각화하고 있음.

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이걸 왜 쓰는가?

직관

• 큰 스케일(a=1)은 큰 구조 (예: 이미지 전체 밝기 변화)
• 작은 스케일(a=1/2, 1/4...)은 작은 구조 (예: 경계, 윤곽, 눈, 입 등)

활용

• Wavelet 변환은 신호를 \psi_{a,b}(t)들로 투영하여
  각 스케일/위치별 "얼마나 잘 맞는지" (내적 값) 계산
  → → 이것이 Wavelet Transform

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직교성 (Orthogonality)

• 서로 다른 wavelet들은 내적이 0

 

• 이유:
  • 한 wavelet이 +1일 때, 다른 건 +1/−1로 반반 존재 → 합이 0
• 이 성질 덕분에 모든 신호를 안정적으로 분해 가능

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해석>다중해상도 분석

스케일해석 범위해상도분석 특징

 

큰 스케일 (a=1)	전체 구간	저해상도	큰 구조만 파악
중간 스케일 (a=1/2)	절반 구간	중간 해상도	중간 크기 구조
작은 스케일 (a=1/4, ...)	세부 구간	고해상도	세밀한 엣지나 변화 감지

→ 그림 오른쪽 위의 Time-Frequency 박스에서
→ 높은 freq 구간일수록 짧은 시간 구간에만 wavelet이 존재하는 걸 볼 수 있음.

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핵심 요약

• Haar wavelet은 가장 간단하고 직관적인 wavelet
• (a, b) 조절로 다양한 시간/주파수 해상도 확보 가능
• 큰 구조는 긴 wavelet, 작은 세부는 짧은 wavelet
• 내적 결과가 wavelet transform 결과
• 이미지/오디오/시계열 모두 분석 가능

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