[Frequency] 현실 세계의 신호와 푸리에 변환(Fourier Transform) 및 웨이블릿 변환 (Wavelet Transform) 쉽게 설명

신호는 복잡하지만 구조가 있음

• 현실의 신호는 노이즈와 불규칙성을 포함하지만, 동시에 패턴(구조)도 있음.
• 예: 쥐의 뇌파를 보면 세 번의 진동 구간이 있고, 각 구간은 빠른 진동이 겹쳐져 있음.

과학자는 구조를 수학적으로 분석해야 함

• “여기 물결처럼 보이네?”는 비과학적임.
• 노이즈 속에서 신호의 구조를 분석할 정확한 수학 도구가 필요함.

주파수 영역과 시간 영역의 이중성

• 두 수 x₁, x₂ → 이를 직접 전달하는 대신,
  합(y₁ = x₁ + x₂), 차(y₂ = x₁ - x₂)로 표현 가능.
• 이런 표현은 시간 도메인 ↔ 주파수 도메인 변환의 간단한 사례임.
• y₁은 저주파 (변화 없음), y₂는 고주파 (급격한 변화).

푸리에 변환 (Fourier Transform)

• Joseph Fourier의 아이디어:
  “모든 신호는 여러 주파수의 사인·코사인으로 표현 가능.”
• Fourier Transform:
  신호 → 주파수 성분 분해
• Inverse FT:
  주파수 성분 → 원래 신호 복원

푸리에의 한계: 시간 정보 소실

• 예: 교통 신호등 (빨→노→초) → FT는 색 순서는 알려주지 못함.
• 주파수만 남고, 시간의 순서는 사라짐.
• 이유: 시간-주파수의 트레이드오프, 즉 불확정성 원리

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Wavelet Transform: 시간과 주파수의 타협

• 아이디어: 시간에도 국한된 짧은 진동파 사용
• 이 진동파를 Wavelet (작은 파동)이라 부름
  • 예: Morlet Wavelet = 코사인 × 가우시안 곡선

Wavelet의 수학적 조건

1. 평균이 0이어야 함 (양과 음 면적 합 = 0)
2. 유한한 에너지 (제곱 면적이 유한)

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Wavelet Transform의 구조

• 기존 FT(Fourier Transform):
  • 신호 y(t) → 주파수 \hat{y}(f)
• WT (Wavelet Transform):
  • 신호 y(t) → 시간 × 주파수의 2D 함수 W(a,b)

조작 방법

• b (시간 이동): wavelet을 시간축에서 슬라이딩
• a (스케일/주파수): wavelet을 축소/확대 (주파수 변경)

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변환 방식은 내적 (dot product)

• 신호와 wavelet 간의 유사도 측정
  → 양쪽이 같은 부호: +영역
  → 부호 반대: -영역
  → 적분(=내적) 결과가 유사도 점수
• 내적 = 고차원 벡터 간 유사도
  (신호도 무한 차원의 벡터로 간주 가능)

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복소수 기반 Morelet Wavelet 사용

• 실수부: 감쇠된 코사인
• 허수부: 감쇠된 사인
• 이 두 개를 함께 사용하여,
  진폭의 절댓값(norm)을 구하면
  특정 주파수의 힘(power)*을 얻을 수 있음

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Wavelet Scalogram

• 결과를 시간 x 주파수 평면에 시각화
  → Wavelet Scalogram이라 부름
• 예: 주파수가 증가하는 사인파
  → 시간이 흐를수록 높은 주파수로 이동하는 모습 시각화 가능

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시간-주파수 해상도 트레이드오프

• FT: 주파수는 정확, 시간은 모름
• Time Series: 시간은 정확, 주파수는 모름
• Wavelet: 적절한 타협
  • 낮은 주파수 → 시간 해상도 낮아도 괜찮음
  • 높은 주파수 → 시간 해상도 높게 유지

→ 이를 Heisenberg Box로 시각화 가능

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Summary

• Wavelet Transform은 신호를 시간-주파수 도메인에서 분석할 수 있게 해주는 수학적 확대경임.
• 푸리에 변환이 놓친 시간 정보까지 보존하며,
  다양한 주파수의 변화를 시간축에 따라 탐색 가능함